若n-m表示[m,n]（m＜n）的区间长度,函数f（x）=√a-x+√x（a＞0）的值域区间长度为2（√2-1）,a=?

题目

若n-m表示[m,n]（m＜n）的区间长度,函数f（x）=√a-x+√x（a＞0）的值域区间长度为2（√2-1）,a=?
思路我都会,就是不知道具体表示

答案

是f(x)= √(a-x)+√x吧!
提示：易知f(x)的定义域为[0,a].
令y=f(x),则y>0,且y²=[√(a-x)+√x]²=a+2√[x(a-x)]=a+2√[-(x-a/2)²+a²/4],
当x=a/2时,y²取最大值2a,当x=0或a时,y²取最小值a,
从而f(x)的值域为[√a,√(2a)],区间长度为(√2-1)√a=2(√2-1),
所以√a=2,故a=4.