已知F1、F2是椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点,过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形,其中∠BAF2=90°,求椭圆离心率.
题目
已知F1、F2是椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点,过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形,其中∠BAF2=90°,求椭圆离心率.
利用椭圆的几何定义:到两定点距离之和为定长的点的轨迹.
假设AF1长为d
∴AF2长为2a-d
∵AF2=AB
∴BF1长2a-2d.
又∵ABF2是等腰Rt△
∴BF2=√2×AF2=√2×(2a-d)
∴得到方程:
√2×(2a-d)+(2a-2d)=2a
解得d=2(√2-1)a.
对Rt△F1AF2利用勾股定理:
F1F2=√(36-24√2)×a=2√3×(√2-1)×a.
∴离心率e=F1F2/2a=√3×(√2-1)=√6-√3
F1F2=√(36-24√2)×a=2√3×(√2-1)×a.我想问√(36-24√2)怎么来的
答案
F1F2=√(AF1^2+AF2^2)
而AF1=d=2(√2-1)a,AF2=2a-d=2(2-√2)a
代入上式,得到:
F1F2=√[4(2-2√2+1)+4(4-4√2+2)]=√(8-8√2+4+16-16√2+8)=√(36-24√2)
以上.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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