直线L0:(x-2)/4=(y-1)/2=Z/-1

题目

直线L0:(x-2)/4=(y-1)/2=Z/-1
绕Y轴旋转一圈所成的曲面方程,

答案

设 (x-2)/4=(y-1)/2=z/(-1)=t,则直线的参数方程可以写为
x=4t+2,y=2t+1,z=-t (1)
因为直线绕y轴旋转,所以旋转后曲面的参数方程可以写为
x=根号[(4t+2)^2+(-t)^2]*cosu,y=2t+1,z=根号[(4t+2)^2+(-t)^2]*sinu (2)
这里u是参数.
于是对(2)式有 x^2+z^2=(4t+2)^2+(-t)^2=17t^2+16t+4 (3)
再将 t=(y-1)/2 代入 (3) 即得 x^2+z^2=17(y-1)^2/4 + 8(y-1) + 4.
或者写成 4(x^2+z^2)=17(y-1)^2+32(y-1)+16.
经过简单的验证可知这是一个单叶双曲面.