已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.

已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.

题目
已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.
答案
由“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命题.
若p为真命题,a≤x2恒成立,
∵x∈[1,2],
∴a≤1 ①;
若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,
△=4a2-4(2-a)≥0,
即a≥1或a≤-2 ②,
对①②求交集,可得{a|a≤-2或a=1},
综上所求实数a的取值范围为a≤-2或a=1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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