双曲线的一个顶点到相应准线的距离与这个点到另一个焦点的距离之比为λ,则λ的取值范围为

题目

双曲线的一个顶点到相应准线的距离与这个点到另一个焦点的距离之比为λ,则λ的取值范围为

答案

λ=(a-a^2/c)/(a+c)
=(ac-a^2)/(ac+c^2)(分子,分母同除以a^2)
=(e-1)/(e+e^2),
1/λ=(e+e^2)/(e-1)=(e-1)+2/(e-1)+3
≥3+2√2,
所以0<λ≤1/(3+2√2)=3-2√2.