已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是_．

题目

已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是______．

答案

设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有

3R−h

3R

＝

r

R

∴h=3R-3r
∴S=2πrh+2πr²
=-4πr²+6πRr
=-4π（r²-

3

2

Rr）=-4π（r-

3

4

R）²+

9

4

πR²
∴当r=

3

4

R时，S取的最大值

9

4

πR²．
故答案为：

9

4

πR²．