p,q互质,证明p^(q/p)不是整数

题目

p,q互质,证明p^(q/p)不是整数
p,q为互质且不等于1的正整数,且p

答案

证明:反证法
假设q^(p/q)是整数,并设为A则q^p=A^q
根据唯一分解定理,设
q^p=a1^(b1p)*a2^(b2p)...an^(bnp)
A^q=a1^(c1q)*a2^(c2q)...an^(cnq)
(以上两式为标准的分解质因数)
则b1p=c1q b2p=c2q...bnp=cnq
因为p,q为互质,所以q|bi p|ci (i=1,2...n)
可设bi=diq
所以q^p=[a1^(d1)*a2^(d2)...an^(dn)]^(pq)
设t＝a1^(d1)*a2^(d2)...an^(dn)>1
则q=t^q>=(1+1)^q=1+q+q(q-1)/2+...>q（二项式定理）,矛盾
原命题得证
希望我的回答对您有所帮助