AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线,点M、N分别内分AC、CE使AM:AC=CN:CE=r.如果B、M、N三点共线,试求r

题目

AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线,点M、N分别内分AC、CE使AM:AC=CN:CE=r.如果B、M、N三点共线,试求r

答案

设BE与AC交于点G,则G为AC中点.
由梅涅劳斯定理,有
CN/NE*EB/BG*GM/MC=1,
而CN/NE=r/(1-r),EB/BG=4,GM/MC=(r-1/2)/(1-r),
∴[r/(1-r)]*4*[(r-1/2)/(1-r)]=1
解得,r=(根3)/3.