已知数列an,a1=1,a（n+1）=-an+n方,求数列an的通向公式及a2000的值

题目

已知数列an,a1=1,a（n+1）=-an+n方,求数列an的通向公式及a2000的值

答案

a2=-a1+1²=-1+1=0
a(n+1)=-an+n²
a(n+1)+an=n² (1)
a(n+2)+a(n+1)=(n+1)² (2)
(2)-(1)
a(n+2)-an=(n+1)²-n²=2n+1
a(2n+1)-a(2n-1)=2(2n-1)+1
a(2n-1)-a(2n-3)=2(2n-3)+1
…………
a3-a1=2×1+1
累加
a(2n+1)-a1=2×[1+3+...+(2n-1)]+n=2n²+n
a(2n+1)=a1+2n²+n=2n²+n+1
n为奇数时,an=n²/2 -n/2 +1
a(2n)-a(2n-2)=2(2n-2)+1
a(2n-2)-a(2n-4)=2(2n-4)+1
…………
a4-a2=2×2+1
累加
a(2n)-a2=2×[2+2×2+...+2(n-1)]+(n-1)=4[1+2+...+(n-1)]+(n-1)=4n(n-1)/2 +(n-1)=2n²-n-1
a(2n)=a2+2n²-n-1=0+2n²-n-1=2n²-n-1
n为偶数时,an=n²/2 -n/2 -1
化为统一的形式：an=n(n-1)/2 -(-1)ⁿ
a2000=2000×1999/2 -1=1998999