矩阵a与矩阵b相似,且a可逆,证明矩阵b可逆以及a^-1与b^-1相似

题目

矩阵a与矩阵b相似,且a可逆,证明矩阵b可逆以及a^-1与b^-1相似

答案

因为A,B相似
所以存在可逆矩阵P使得 P^-1AP=B
由于A可逆,故B可逆 (同阶可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵)
且 B^-1 = (P^-1AP)^-1 = P^-1A^-1(P^-1)^-1 = P^-1A^-1P
故 A^-1与B^-1相似.