如题!计算曲线积分∫1/(x^2+y^2+z^2)ds,其中T为曲线x=e^tcost,y=e^tsint,z=e^t上相应于t从0变到t0的这段弧.

题目

如题!计算曲线积分∫1/(x^2+y^2+z^2)ds,其中T为曲线x=e^tcost,y=e^tsint,z=e^t上相应于t从0变到t0的这段弧.

答案

x't=e^t(cost-sint)
y't=e^t(sint+cost)
z't=e^t
ds=√[(x't)^2+(y't)^2+(z't)^2] dt=√3 e^t dt
把各参数带入原积分
原积分=∫√3 e^t dt /(2e^2t)=(√3/2)∫(t->t0) e^(-t)dt=(√3/2)[e^(-t)-e^(-t0)]