长方体ABCD—A1B1C1D1中,P、Q、R分别是棱AA1、BB1、BC上的点,PQ平行于AB,C1Q垂直PR,求证：D1Q垂直QR

题目

长方体ABCD—A1B1C1D1中,P、Q、R分别是棱AA1、BB1、BC上的点,PQ平行于AB,C1Q垂直PR,求证：D1Q垂直QR

答案

分析:PQ‖AB提供的结论是PQ⊥平面BB1C1C,又因为C1Q⊥PR,在平面BB1C1C上,利用三垂线逆定理,就可以得到RQ⊥QC1;又因为D1Q在平面BB1C1C上的射影是QC1,再在这个平面上利用三垂线定理,就可以得到结论.
证明：
∵ PQ∥AB,
AB⊥平面BC1,
∴ PQ⊥平面BC1,QR是PR在平面BC1的射影．
根据三垂线定理的逆定理,由C1Q⊥PR得C1Q⊥QR．
又因D1C1⊥平面BC1,
则C1Q是D1Q在平面B1C的射影,
根据三垂线定理,由C1Q⊥QR得QR⊥D1Q．