成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+

题目

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b_n}中的b₃、b₄、b₅．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n+

5

4

答案

（I）设成等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d
依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5
所以{b_n}中的依次为7-d，10，18+d
依题意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）
故{b_n}的第3项为5，公比为2
由b₃=b₁•2²，即5=4b₁，解得b1＝

5

4

所以{b_n}是以

5

4

首项，2为公比的等比数列，通项公式为bn＝

5

4

•2n−1
（II）数列{b_n}的前和Sn＝

5 4 (1−2n)

1− 2

＝

5

4

•2n−

5

4

即Sn+

5

4

＝

5•2n

4

，所以S1+

5

4

＝

5

2

，

Sn+1+ 5 4

Sn+ 5 4

＝

5•2n−1

5•2n−2

＝2
因此{Sn+

5

4

}是以

5

2

为首项，公比为2的等比数列