设向量a1 a2 a3线性无关,B1=a1+a2 B2=a2+a3 B3=a3+a1...证明B1.B2.B3线性无关

题目

设向量a1 a2 a3线性无关,B1=a1+a2 B2=a2+a3 B3=a3+a1...证明B1.B2.B3线性无关

答案

设：
k1*B1+k2*B2+k3*B3=0
根据定义,如果k1,k2,k3只有零解,那B1,B2,B3线性无关
展开：
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a1+a3)=0
(k1+k3)a1 + (k1+k2)a2 + (k2+k3)a3=0
由于a1,a2,a3线性无关,所以
k1+k3=0
k1+k2=0
k2+k3=0
解上面的方程组,显然,系数矩阵
1 0 1
1 1 0
0 1 1
满秩,所以k1,k2,k3只有零解
从而B1B2B3线性无关