设复数z≠1,且满足|z|=1,试证Re[1/(1-z)]=1/2.

题目

设复数z≠1,且满足|z|=1,试证Re[1/(1-z)]=1/2.

答案

证明：设z=a+bi（a≠1）,则a^2+b^2=1
1/(1-z)=1/(1-a-bi)=(1-a+bi)/[(1-a)^2+b^2]=(1-a+bi)/(1-2a+a^2+b^2)=(1-a+bi)/(2-2a)
其实部为Re[1/(1-z)]=(1-a)/(2-2a)=1/2