已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径. (1)求圆C的方程; (2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.

已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径. (1)求圆C的方程; (2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.

题目
已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径.

(1)求圆C的方程;
(2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.
答案
(1)∵点O(0,0),A(6,0),
∴OA的中点坐标为(3,0).
∴圆心C的坐标为(3,0).
半径r=|OC|=3.
∴圆C的方程为
(x-3)2+y2=9.
(2)∵直线l2平行于l1
∴可设直线l2的方程为:x-2y+m=0.
则圆心C到直线l2的距离
d=
|3+m|
5

d2+(
|MN|
2
)2=r2

(3+m)2
5
+4=9

解得,m=2或m=-8.
∴直线l2的方程为
x-2y+2=0或x-2y-8=0.
(1)由已知圆C以线段OA为直径,则OA的中点即为圆心,OA即为直径长.从而可求出圆C的方程.
(2)由已知可设直线l2的方程为:x-2y+m=0.从而圆心C到直线l2的距离d=
|3+m|
5
.根据则d2+(
|MN|
2
)2=r2
即可求出m的值,从而求出直线l2的方程.

直线与圆的位置关系.

本题考查圆的标准方程,点到直线的距离公式,弦长公式等知识的运用.属于中档题.

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