线代证明题

题目

线代证明题
证明：设有向量组a1,a2,a3,a4,若R（a1,a2,a3,a4）>R（a1,a2,a3）则必有
R（a1,a2,a3,a4）=R（a1,a2,a3）+1

答案

证明:考察“a4能否由a1,a2,a3表示出”
若能,则向量组a1,a2,a3 与 a1,a2,a3,a4 可以互相线性表示
即两个向量组等价.
而等价的向量组有相同的秩,所以R（a1,a2,a3,a4）＝R（a1,a2,a3）,与题意矛盾.
故a4不能否由a1,a2,a3表示出.
设（a1,a2,a3）的极大无关组为A
则（a1,a2,a3,a4）的极大无关组为（A,a4）
-- 这是由于a4不能由A组线性表示,故A组添加a4仍线性无关,故为a1,a2,a3,a4的极大无关组
所以R（a1,a2,a3,a4）=R（a1,a2,a3）+1