设A,B为n阶矩阵,如果B为矩阵方程AXA=A的唯一解,证明:A为矩阵方程BXB=B的解

题目

设A,B为n阶矩阵,如果B为矩阵方程AXA=A的唯一解,证明:A为矩阵方程BXB=B的解

答案

A进行LU分解,使得L行满秩,U列满秩,令X=U'(U'U')^-1(LL')^-1L'AXA = LUU'(U'U')^-1(LL')^-1L'LU = A可以看出X=U'(U'U')^-1(LL')^-1L'是AXA=A的一个解.因为B是唯一解,因此B=U'(U'U')^-1(LL')^-1L'把这个式子加上A=LU代...