在面积为1的△PMN中,tanPMN=1/2,tanMNP=2,建立适当的坐标系,求以M,N为焦点且过P点的双曲线方程.

题目

在面积为1的△PMN中,tanPMN=1/2,tanMNP=2,建立适当的坐标系,求以M,N为焦点且过P点的双曲线方程.
最好是详细过程,原创.万分感谢!
答案给的是x^2/(5/12)-y^2/(1/3)=1,但这个答案经常错，不知道这个对不对。感谢大家了。

答案

以MN所在直线为X轴,MN中垂线为Y轴,建立直角坐标系.
MN=2c PM-PN=2a
做PQ⊥MN
tanMNP=2,
设NQ=x,则PQ=2x,MQ=4x,MN=5x
PM=2√5x PN=√5x
S△MNP=0.5*MN*PQ=1
05*5x*2x=1
x=1/√5
2c=MN=5x=√5
c=√5/2
2a=PM-PN=√5x=1
a=1/2
b^2= c ^2- a ^2=1
所求双曲线方程为：4x^2-y^2=1 (x>0)
(因为PM>PN,所以点P在双曲线右支上）