设函数f(x)满足条件f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在x=0处连续,证明f(x)在所有的点x0处连续

题目

设函数f(x)满足条件f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在x=0处连续,证明f(x)在所有的点x0处连续

答案

证明f(x)在R上连续,即要证明对于任意x0,
极限lim[f(x0+Δx)(Δx→0)存在且等于f(x0).
因为f(x)在x=0处连续,所以limf(x)(x→0)=f(0)
又因为f(x+y)=f(x)+f(y),f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),所以f(0)=0
所以f(x0+Δx)=f(x0)+f(Δx)
所以lim[f(x0+Δx)(Δx→0)=limf(Δx)+f(0)(Δx→0)=f(x0)
即证明了函数在任意一点x处存在极限且等于f(x0)
结论得证