在欧式空间R4中,求三个向量a1,a2,a3所生成的子空间的一个标准正交基

题目

在欧式空间R4中,求三个向量a1,a2,a3所生成的子空间的一个标准正交基
a1=(1,0,1,1)T,a2=(2,1,0,-3)T,a3=(1,-1,1,-1)T
老师,这题是想考施密特正交化原理吧.但是我想问
1）为什么三个线性无关向量可以生成一个R4子空间?
2）R4是表示4维吧,这个4维体现在这3个向量的行数为4上?
3）做这题不能直接一上来就是按施密特正交化原理的公式就套吧,求分析,概念不是很懂,有点抽象

答案

因为a1,a2,a3三个向量都有四个分量,所以每个向量都是4维的,这和我们常见的2维,3维向量是不同的,因为这个,可能你理解上去有点抽象.
事实上,我们完全可以用三维欧式空间中的向量来类比.在三维欧式空间中,任意两个不共线（用代数的语言就是不线性相关）的向量可以“张”成一个平面（即以它们为基底向量的平面）,平面相对空间来说就是2维的,用代数的语言,平面是3维空间的一个2维子空间（关于子空间的定义你需要好好复习一下）.对本题而言,三个不共线的4维向量可以“张”成一个“3维平面”,这个“3维平面”就是4维欧式空间里的一个子空间.
希望对你有所帮助!
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