若抛物线y2=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A,B,则a的取值范围是( ) A.(−43,0) B.(0,34) C.(0,43) D.(-∞,0)∪(43,+∞)
题目
若抛物线y
2=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A,B,则a的取值范围是( )
A. (
−
答案
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
因为点A和B在抛物线上,所以有
y12=ax1①
y22=ax2②
①-②得,
y12−y22=a(x1−x2).
整理得
=,
因为A,B关于直线x+y-1=0对称,所以k
AB=1,即
=1.
所以y
1+y
2=a.
设AB的中点为M(x
0,y
0),则
y0==.
又M在直线x+y-1=0上,所以
x0=1−y0=1−.
则M(
1−,).
因为M在抛物线内部,所以
y02−ax0<0.
即
−a(1−)<0,解得
0<a<.
所以a的取值范围是(
0,).
故选C.
举一反三
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