f(x)=1/3x3−x2+ax−5在区间[-1,2]上有反函数,则a的范围是 _.
题目
f(x)=x3−x2+ax−5在区间[-1,2]上有反函数,则a的范围是 ______.
答案
因为
f(x)=x3−x2+ax−5在区间[-1,2]上有反函数,
所以f(x)在该区间[-1,2]上单调,
则f'(x)=x
2-2x+a≥0在[-1,2]上恒成立,
得a≥1
或在f'(x)=x
2-2x+a≤0上恒成立,
得a≤-3.
故答案为:(-∞,-3]∪[1,+∞).
欲使原函数在区间[-1,2]上有反函数,只须其在区间[-1,2]上是单调函数即可,利用导数研究,只须其导数在区间[-1,2]上恒为非正或非负即可,最后利用二次函数的图象与性质即得a的范围.
反函数;利用导数研究函数的单调性.
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数单调性的应用、反函数、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
举一反三
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