设x,y∈R,i、j,为直角坐标平面内x轴,y轴正方向上的单位向量,若向量a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8. (1)求点M(x,y)的轨迹C的方程; (2)过点(0
题目
设x,y∈R,
、
,为直角坐标平面内x轴,y轴正方向上的单位向量,若向量
=x
+(y+2)
,
=x
+(y-2)
答案
(1)∵
=x
+(y+2)
,
=x
+(y-2)
∴|
|=
,|
|=
设F
1(0,-2),F
2(0,2),动点M(x,y),可得|
|、|
|分别表示点M到F
1、F
2的距离.
∵|
|+|
|=8,即M到F
1、F
2的距离之和等于8,
∴点M(x,y)的轨迹C是以F
1(0,-2),F
2(0,2)为焦点,长轴长为8的椭圆,
可得a=4,c=2,b
2=a
2-c
2=12,
可得椭圆方程为
+
=1,即为点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)由于直线l过点(0,3),故
①当直线l为y轴时,A、B为椭圆的顶点,可得
=
+
=
此时点P与原点重合,不符合题意;
②当直线l与x轴不垂直时,设方程为y=kx+3,A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)
由
消去y,得(4+3k
2)x
2+18kx-21=0
此时△=(18k)
2-4(4+3k
2)•(-21)=576k
2+336>0恒成立
x
1+x
2=
,代入直线得y
1+y
2=k(x
1+x
2)+12=
∵
=
+
,∴四边形OAPB是平行四边形,
若四边形OAPB是菱形,则|
|=|
|
∵
=(x
1,y
1),
=(x
2,y
2)
∴x12+y12=x22+y22,化简得(x
1+x
2)(x
1-x
2)+(y
1+y
2)(y
1-y
2)=0
可得l的斜率k=
=-
=-
=-
解之得k=0,因此存在直线y=3,使得四边形OAPB为菱形.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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