如图,已知∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.求证: (1)AM平分∠DAB; (2)DM⊥AM.
题目
如图,已知∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.求证:
(1)AM平分∠DAB;
(2)DM⊥AM.
答案
(1)AM平分∠DAB.
证明:过点M作ME⊥AD,垂足为E,
∵DM平分∠ADC
,
∴∠1=∠2,
∵MC⊥CD,ME⊥AD,
∴ME=MC(角平分线上的点到角两边的距离相等),
又∵MC=MB,
∴ME=MB,
∵MB⊥AB,ME⊥AD,
∴AM平分∠DAB(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
(2)DM⊥AM.
证明:∵∠B=∠C=90°,
∴DC⊥CB,AB⊥CB,
∴CD∥AB(垂直于同一条直线的两条直线平行),
∴∠CDA+∠DAB=180°(两直线平行,同旁内角互补)
又∵∠1=
∠CDA,∠3=
∠DAB(角平分线定义)
∴2∠1+2∠3=180°,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠AMD=90度.即DM⊥AM.
举一反三
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