a、b、c、分别为三角形∠A、∠B、∠C的对边,G为重心.已知a*向量GA+b*向量GB+3分之根号3*c*向量GC,求∠A

题目

a、b、c、分别为三角形∠A、∠B、∠C的对边,G为重心.已知a*向量GA+b*向量GB+3分之根号3*c*向量GC,求∠A

答案

∵G是ΔABC的重心
取BC中点为M,则GB+GC=2GM=-GC
∴GA+GB+GC=0向量
∴GC=-GA-GB
∵a*向量GA+b*向量GB+√3/3*c*向量GC=0向量
∴a*向量GA+b*向量GB+√3/3*c*向量(-GA-GB)=0向量
∴(a-√3/3c)GA+(b-√3/3c)GB=0向量
∵GA,GB为不共线向量
∴a-√3/3c=b-√3/3c=0
即a=b=√3/3c
∴cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
=c²/(2*√3/3c²)
=√3/2
∴A=30º