有道线性代数的证明题,

题目

有道线性代数的证明题,
设齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r,未知量的个数为n,证明：该方程组的任意n—r个线性无关向量都是它的一个基础解系.
能不能不通过解空间证明,

答案

设AX=0是一个齐次方程组,A是一个m*n矩阵,设它的解空间为W,
把A看成是从n维向量空间到m维向量空间的线性映射,则dim(KerA)+dim(ImA)=n
而dim(ImA)=r(A),dim(KerA)=dim(W),则dim(W)=n-r(A)=n-r,
从而该方程组的任意n—r个线性无关解构成W的一组基,故是它的一个基础解系
对于AX=0的任意n-r个线性无关解a(1),...,a(n-r),取定AX=0的一个基础解系b(1),...,b(n-r).则r{a(1),...,a(n-r)}=r{b(1),...,b(n-r)}=n-r,且a(1),...,a(n-r)可由b(1),...,b(n-r)线性表出,从而两个向量组等价,故AX=0的任一个解可被a(1),...,a(n-r)线性表出.