设Sn是数列｛an｝的前n项和,且an是Rn和2的等差中项

题目

设Sn是数列｛an｝的前n项和,且an是Rn和2的等差中项
1,求数列｛an｝的通项公式
2,当1小于等于i小于等于j小于等于n（ijn都是正整数）时,求ai和aj的所有可能的乘积之和Tn

答案

1,2+Sn=2an
当n=1时,2+S1=2a1,而S1=a1,所以a1=2；
当n>1时,2+S(n-1)=2a(n-1),两式相减,得：Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)
而Sn-S(n-1)=an,所以an=2a(n-1),而a1=1≠0,所以a(n-1)≠0,
所以an/a(n-1)=2,为常数,所以数列an是以2为首项、2为公比的等比数列
an=2×2^(n-1)=2^n (n∈N+)
2,1≤i≤j≤n,i、j最小都取1,那么ai*aj的最小值也就是a1*a1=2^2=a2
i、j最大都取n,那么那么ai*aj的最大值也就是an*an=2^(2n)=a(2n)
所以a1*aj的所以可能取值就是数列an中从a2到a(2n)项,共2n-2+1=2n-1项
于是Tn=4×[1-2^(2n-1)]/(1-2)=2×4^n-1