在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a+c=4，求AC边上中线长的最小值．

题目

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=4，求AC边上中线长的最小值．

答案

（Ⅰ）由题意得：2bcosB=ccosA+acosC，2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，2sinBcosB=sinB，sinB≠0，  ∴cosB=12，B=π3．（Ⅱ）如图：设AC边上的中点为E，在△BAE中，由余弦定理得：BE2=c2+(b2)2- 2c(b2...

（Ⅰ）由已知，2bcosB=ccosA+acosC，利用正弦定理，将边b，c，a代换成sinB sinC sinA，再利用两角和正弦公式求B
（Ⅱ）设AC边上的中点为E，利用三边a，b，c用余弦等量将中线BE表示出来，再用基本不等式求最小值．

本题考点：数列与三角函数的综合．

考点点评：本题考查正弦、余弦定理的应用，用基本不等式求最值．考查分析解决、计算能力．