证明不等式：[(n+1)/e]^(n)

题目

证明不等式：[(n+1)/e]^(n)

答案

由于[(n+1)/e]^ne*[n/e]^n取e为底的对数ln,转化成nln(n)-n+1因为对数函数单调增,于是int_{n-1}^n[ln x]dx 又因为ln(n!)=ln1+ln2+...+ln n；
于是int_1^n[ln x]dx根据int_1^n[ln x]dx=nln x-n+1,欲证的不等式成立.
也许你需要证明一下(1+1/n)^n首先证明(1+1/n)^n是随n单调增的,你可以用取对数后泰勒展开作数列比较也可以直接多项式展开比较结合归纳法；其次证明当n趋无穷大时(1+1/n)^n=e,证明则可以取对数后泰勒展开,可证nln(1+1/n)=1.方法也许有许多.