已知f(x)=alnx+12x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立,则a的取值范围是(  ) A.(0,1] B.(1,+∞) C.(0,1

已知f(x)=alnx+12x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立,则a的取值范围是(  ) A.(0,1] B.(1,+∞) C.(0,1

题目
已知f(x)=alnx+
1
2
x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
f(x1)−f(x2)
x1x2
>2恒成立,则a的取值范围是(  )
A. (0,1]
B. (1,+∞)
C. (0,1)
D. [1,+∞)
答案
对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
f(x1)−f(x2)
x1x2
>2恒成立
则当x>0时,f'(x)≥2恒成立
f'(x)=
a
x
+x≥2在(0,+∞)上恒成立
则a≥(2x-x2max=1
故选D.
先将条件“对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
f(x1)−f(x2)
x1x2
>2恒成立”转换成当x>0时,f'(x)≥2恒成立,然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可.

导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性.

本题主要考查了导数的几何意义,以及函数恒成立问题,同时考查了转化与划归的数学思想,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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