1.已知0小于x小于4,X分之4+(4-x)分之1的最小值————

题目

1.已知0小于x小于4,X分之4+(4-x)分之1的最小值————
2.已知数列｛an（n是下标）｝（n属于正整数）,函数fn（n是下标）（x）=x的平方+3nx+an（n是下标）.若对一切正整数n,数列｛bn（n是下标）｝中的项bn（n是下标）与b(n+1)(n+1是下标）是函数fn（n是下标）（x）的两个不同的零点,且b10（10是下标）=-10,则a50（50是下标）=————

答案

第一问：
一般做法是将函数f(x)=4/x + 1/(4-x)求导,让导数等于0：
(4/x + 1/(4-x))'=-4/x² + 1/(4-x)²=0
得x=8/3或者8,只有8/3在区间(0,4)中,所以这一点是函数的极值点.
将x=8/3代入函数可得f(x)=9/4.
第二问：
函数fn如果有两异根,则两根为：
[-3n±根号下(9n²-4an)]/2
这两根为bn,b(n+1),则：
bn=[-3n+根号下(9n²-4an)]/2
b(n+1)=[-3n-根号下(9n²-4an)]/2
这里对于这个“±”的分配,其实并不能马上确定,究竟bn和b(n+1)哪个是+哪个是-,但后面的计算可以证明,如果bn=[-3n-根号下(9n²-4an)]/2,那么解不出实数根,所以这样的对应是正确的.
将上述两个式子相加,可得：
bn+b(n+1)=-3n
用n+1代替n,可得：
b(n+1)+b(n+2)=-3n-3
再将这两个式子相减,得：
b(n+2)-b(n)=-3
即,将数列{bn}每隔一项取出,组成的一个子数列是一个公差为-3的等差数列.
已知b10=-10,先求b50：
b50=b10+(50-10)/2*(-3)=-70
将b50代入前面的式子bn=[-3n+根号下(9n²-4an)]/2：
b50=[-3*50+根号下(9*50²-4a50)]/2=-70
可解得：
a50=5600