已知DB,DC平分三角形ABC的外角CBE,BCF相交于点D,求证角D与角A之间的关系?

题目

已知DB,DC平分三角形ABC的外角CBE,BCF相交于点D,求证角D与角A之间的关系?

答案

∠D=90°-1/2∠A
证明思路：延长BA得到与∠A相邻的外角∠GAC,且∠GAC=180°-∠BAC
由多边形外角和360°可知∠GAC+∠CBE+∠BCF=360°
得∠CBE+∠BCF=360°-∠GAC
因为DB,DC分别平分∠CBE,∠BCF
所以∠DBC+∠DCB=1/2(∠CBE+∠BCF)=1/2(360°-∠GAC)=180°-1/2∠GAC
由∠GAC=180°-∠BAC
得∠DBC+∠DCB=180°-1/2∠GAC=180°-1/2（180°-∠BAC)=90°+1/2∠BAC
所以∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180° -（90°+1/2∠BAC）=90°-1/2∠A