设a，b，c是不全相等的任意整数，若x=a2-bc，y=b2-ac，z=c2-ab．求证：x，y，z中至少有一个大于零．

题目

设a，b，c是不全相等的任意整数，若x=a²-bc，y=b²-ac，z=c²-ab．求证：x，y，z中至少有一个大于零．

答案

证明：假设x，y，z都小于0，
∵x=a²-bc，y=b²-ca，z=c²-ab，
∴2（x+y+z）=2a²-2bc+2b²-2ca+2c²-2ab=（a²-2ab+b²）+（b²-2bc+c²）+（a²-2ca+c²）=（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²＜0，
∴这与（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0矛盾，
故假设不成立，
∴x，y，z中至少有一个大于零．