如图，已知点F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCE，GF⊥AF．求证：AF=FG．

题目

如图，已知点F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCE，GF⊥AF．求证：AF=FG．

答案

证明：取AB的中点M，连接FM．
∵点F是正方形ABCD的边BC的中点，
∴BF=BM，
∴∠BMF=45°，
∴∠AMF=135°．
∵CG平分∠DCE，
∴∠GCE=45°，
∴∠FCG=135°，
∴∠AMF=∠FCG．
∵∠B=90°，∴∠FAM=90°-∠AFB，
∵GF⊥AF，∴∠GFC=90°-∠AFB，
∴∠FAM=∠GFC．
在△FAM和△GFC中，

∠FAM＝∠GFC AM＝FC ∠AMF＝∠FCG

，
∴△FAM≌△GFC，
∴AF=FG．

取AB的中点M，连接FM，由∠FAM=∠GFC，AM=FC，∠AMF=∠FCG=135°，可证△FAM≌△GFC，即得AF=FG，即可解题．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△FAM≌△GFC是解题的关键．