等价无穷小的导函数在这一点上的值相等?

题目

等价无穷小的导函数在这一点上的值相等?
某两个函数在同一变化趋势下取得无穷小,并且是等价无穷小.经不完全归纳发现这两个函数的导函数在所趋近的那个值上的函数值相等.
例如x和sinx在x趋近0时为等价无穷小,其导函数1和cosx在x=0时都等于1.
问这个结论总成立吗?反过来成立吗?

答案

假设f(x)和g(x)在x0处趋近于无穷小,且是等价无穷小,即 lim f(x)/g(x)=1 (注：此处的极限均指x趋近于x0时的极限) ,由极限的定义可以知道对于任意的ε>0存在 x0的邻域δ,使得当|x-x0|