椭圆轨迹方程题目

题目

椭圆轨迹方程题目
已知M是椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）上一点,过它的长轴的两个端点A和A1分别作AM和A1M的垂线,求这两条垂线的交点P的轨迹

答案

设M点坐标为(m,n) A点坐标为(a,0) A1点坐标为(-a,0)
所以AM斜率k1=n/(m-a)
A1M斜率k2=n/(m+a)
所以AP斜率k1'=-(m-a)/n
A1P斜率k2'=-(m+a)/n
所以AP方程为y-k1'(x-a)=0
AP方程为y-k2'(x+a)=0
联立解得x=-m
y=(m^2-a^2)/n
又因为M是椭圆x²/a²+y²/b²=1上一点
所以m²/a²+n²/b²=1
所以n²=b²(a²-m²)/a²
y²=(m²-a²)²/n²
=(m²-a²)²a²/b²(a²-m²)
=a²(a²-m²)/b²
又x=-m
所以y²=a²(a²-x²)/b²
b²y²+a²x²=a^4