高中数学不等式恒成立问题 f(x)=(x2-ax+a)/x,x属于[1,正无穷）,

题目

高中数学不等式恒成立问题 f(x)=(x2-ax+a)/x,x属于[1,正无穷）,
对任意x属于[1,正无穷）,f(x)>0恒成立,求a的取值范围
函数是(x的平方-ax+a)/x

答案

f(x)>0,
即(x的平方-ax+a)/x>0,
x属于[1,正无穷）,所以x的平方-ax+a>0,
a(x-1)a< x^2/(x-1),
x^2/(x-1)=[(x-1)^2+2(x-1)+1]/(x-1)
=(x-1)+2+1/(x-1)
=(x-1) +1/(x-1) +2
≥2√[(x-1) •1/(x-1)] +2
=4.
即x^2/(x-1)的最小值是4,
所以a<4.