平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念,利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。如证明:
(1)勾股定理: Rt△ABC中,∠C=90°,则
|CA|²+|CB|²=|AB|²。
∵AB = CB-CA
∴AB²=(CB-CA)²= CB·CB-2CA·CB+CA·CA
又∵ ∠C=90°,有CA⊥CB,于是CA·CB=0
∴ AB²=AC²+BC²
(2)菱形对角线相互垂直:菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点,求证AC⊥BD。
设 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a
∵AC=(AB+BC),BD=(BC+CD)
∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a²cos(π-α)+a²-a²+a²cosα
又∵ cosα=-cos(π-α)
∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0
∴AC⊥BD
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