如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足。（1）证明

题型：山西省模拟题难度：来源：

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足。
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的余弦值。

答案

解：以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz
则
从而
∴PN⊥AM；
（2）平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）
则sinθ=|cos<>|=  （*）
而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，（θ=除外）
由（*）式，当λ=时，（sinθ）_max=
此时cosθ=
因此当λ=时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大。其余弦值为。