过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1、N1。 (1)当时,求
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过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1、N1。 (1)当时,求
题型:湖北省高考真题
难度:
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过抛物线y
2
=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M
1
、N
1
。
(1)当
时,求证:AM
1
⊥AN
1
;
(2)记△AMM
1
、△AM
1
N
1
、△ANN
1
的面积分别为S
1
、S
2
、S
3
,是否存在λ,使得对任意的a>0,都有S
2
2
=λS
1
S
2
成立。若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由
答案
解:依题意,可设直线MN的方程为
,
,则有
由
消去x可得
从而有
①
于是
②
又由
,
,可得
③
(1)如图,当
时,点
即为抛物线的焦点,l为其准线
此时
,并由①可得
∵
∴
即
。
(2)存在
,使得对任意的
,都有成立
,证明如下:
记直线l与x轴的交点为A
1
,则
。
于是有
∴
将①、②、③代入上式化简可得
上式恒成立,即对任意
成立。
举一反三
P是△ABC所在平面上一点,若
,则P是△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
题型:湖南省高考真题
难度:
|
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如图,过抛物线x
2
=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点。
(1)设点P分有向线段
所成的比为λ,证明:
;
(2)设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程。
题型:湖南省高考真题
难度:
|
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设p>0是一常数,过点Q(2p,0)的直线与抛物线y
2
=2px交于相异两点A、B,以线段AB为直经作圆H(H为圆心),试证抛物线顶点在圆H的圆周上;并求圆H的面积最小时直线AB的方程。
题型:重庆市高考真题
难度:
|
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已知平面向量
=(3,1),
=(x,-3),且
,则x=( )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
题型:广东省高考真题
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|
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已知F
1
,F
2
是椭圆
(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,
,若椭圆的离心率等于
。
(1)求直线AO的方程(O为坐标原点);
(2)直线AO交椭圆于点B,若三角形ABF
2
的面积等于4
,求椭圆的方程。
题型:专项题
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