设p＞0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心），试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面

题型：重庆市高考真题难度：来源：

设p＞0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y²=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心），试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。

答案

解：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：
又设，则其坐标满足
消去x得
由此得，
因此，即
故O必在圆H的圆周上
又由题意圆心H（）是AB的中点，故

由前已证，OH应是圆H的半径，且
 
从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小
此时，直线AB的方程为：x=2p。