方程x^3-6x+x+6=0所有根的积是?

题目

方程x^3-6x+x+6=0所有根的积是?

答案

x^3-6x+x+6=0,设它的三个根为x1,x2,x3,则(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,将左边乘出来,得
{x²-(x2+x3)x+x1x2](x-x3)=0,继续乘,得
x³-(x2+x3)x²+x1x2x-x²x3+x3(x2+x3)x-x1x2x3=0
x³-[(x2+2x3)x²+[x1x2+x3(x2+x3)]x-x1x2x3=0
此式常数项与原式常数项应该一样,所以
-x1x2x3=6,即x1x2x3=-6
故方程x^3-6x+x+6=0所有根的积是-6.