同余乘方证明

题目

同余乘方证明
证明：（应用数学归纳法证明）
（1）当n=1时,命题显然成立；
（2）假设当n=k时,a^k≡b^k (mod m)成立,即a^k-b^k能被m整除.
那么当n=k+1时
∵a≡b (mod m)
∴a=b+km (k是整数)
∵a^(k+1)-b^(k+1)=a^(k+1)-ab^k+ab^k-b^(k+1)
=a(a^k-b^k)+(a-b)b^k
=a(a^k-b^k)+kmb^k
又由假设知a^k-b^k能被m整除,且显然kmb^k能被m整除
∴a^(k+1)-b^(k+1)能被m整除,即a^(k+1)≡b^(k+1) (mod m)成立
故由数学归纳法知,原命题成立.证毕.
为什么∵a≡b (mod m),∴a=b+km (k是整数)?
为什么由假设知a^k-b^k能被m整除,且显然kmb^k能被m整除

答案

题一：∵a≡b (mod m),∴a=b+km (k是整数)注：a==b mod m,即有a-b==0 mod m,即a-b除以m余数为0,即a-b为m的倍数,即存在整数k,使得a-b=km,亦即是a=b+km.事实上,我们可以将 mod m视为一个形如 +m**的代数和项,**表示一...