平面上的4个点,它们每两个点之间的距离都是整数.求证:其中至少有一个距离为3的倍数

题目

平面上的4个点,它们每两个点之间的距离都是整数.求证:其中至少有一个距离为3的倍数

答案

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),令p1=x1-x2,p2=x2-x3,p3=x3-x4,p4=x4-x1,q1=y1-y2,q2=y2-y3,q3=y3-y4,q4=y4-y1,有:
p1^2+q1^2=r1^2
p2^2+q2^2=r2^2
p3^2+q3^2=r3^2
p4^2+q4^2=r4^2
r1,r2,r3,r4都是整数
我们知道任意4个自然数,其中至少有两个数的差是3的倍数（这个好证明）.若命题为非,则ri平方对3的余数只能为1
剩下的我再想想