设函数f(x)＝ln(x−1)+2a/x(a∈R) （1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果当x＞1，且x≠2时，ln(x−1)x−2＞a/x恒成立，则求实数a的取值范围．

题目

设函数f(x)＝ln(x−1)+

(a∈R)

答案

（1）由题意可知函数f（x）的定义域为（1，+∞），f′(x)＝

x−1

−

＝

x2−2ax+2a

x2(x−1)

，
设g（x）=x²-2ax+2a，△=4a²-8a=4a（a-2），
①当△≤0，即0≤a≤2，g（x）≥0，
∴f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
②当a＜0时，g（x）的对称轴为x=a，当x＞1时，由二次函数的单调性可知g（x）＞g（1）＞0，
∴f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
③当a＞2时，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-2ax+2a=0的两个根，则x1＝a−

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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