将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图(1);再次折叠该三角形纸片,使得点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连接DE、DF,如图2,证
题目
将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图(1);再次折叠该三角形纸片,使得点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连接DE、DF,如图2,证明:四边形AEDF是菱形.
答案
证明:由第一次折叠可知:AD为∠CAB的平分线,∴∠1=∠2(2分)
由第二次折叠可知:∠CAB=∠EDF,
∵AE=ED,AF=FD,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4(4分),
在△AED与△AFD中
∴△AED≌△AFD(ASA)(6分)
∴AE=AF,DE=DF,
∴EO=FO,AO=DO,AD⊥EF,
故四边形AEDF是菱形.(9分)
第一次折叠,AC落在AB边上,则折痕AD平分∠BAC,∠EAD=∠FAD;
第二次折叠,A、D重合,则∠EAF=∠EDF、∠EDA=∠FDA;AE=ED、AF=FD;
易证得△AED≌△AFD,得AE=AF、DE=DF,再根据第二次折叠所得到的AE=DE、AF=FD,可证得四边形AEDF的四边相等,由此可判定四边形AEDF是菱形.
菱形的判定;全等三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题).
此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定方法.
举一反三
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