已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　　） A.33 B.23 C.22 D.32

题目

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　　）
A.

3

3

B.

2

3

C.

2

2

D.

3

2

答案

由题|AF1|＝

3

3

|F1F2|，∴

b2

a

＝

3

3

•2c即a2−c2＝

2 3

3

ac
∴c2+

2 3

3

ac−a2＝0，
∴e2+

2 3

3

e−1＝0，
解之得：e＝

3

3

（负值舍去）．
故答案选A．

由△ABF₂是正三角形可知|AF1|＝

3

3

|F1F2|，即

b2

a

＝

3

3

•2c，由此推导出这个椭圆的离心率．

本题考点：椭圆的应用；椭圆的简单性质．

考点点评：本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题要注意公式的合理选取．