已知α∈[0，π4]，β∈[0，π4]且sin（2α+β）=3cos（α+β）sinα，4tanα2＝1−tan2α2，求α+β的值．

题目

已知α∈[0，

π

4

]

答案

∵sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，即tan（α+β）=2tanα，
∵4tan

α

2

=1-tan²

α

2

，
∴

2tan α 2

1−tan2 α 2

=

1

2

，即tanα=

1

2

，
∴tan（α+β）=2tanα=1，
∵α∈[0，

π

4

]，β∈[0，

π

4

]，
∴α+β∈[0，

π

2

]，
则α+β=

π

4

．