设A为非奇异矩阵,B为奇异矩阵,证明1/cond(A)

题目

设A为非奇异矩阵,B为奇异矩阵,证明1/cond(A)<=||A-B||/||A||

答案

注意到A^(-1)B奇异,于是A^(-1)B必有零特征值,E-A^(-1)B必有1特征值,于是||E-A^(-1)B||>=1,故
1<=||E-A^(-1)B||=||A^(-1)(A-B)||<=||A^(-1)|| ||A-B||,两边同除以cond(A),得结论.